Знаки при сложении и вычитании смешанных дробей

Сложение и вычитание дробей

Найти разность двух дробей: 5 — 1 = 5 — 1·3 = 5 — 3 = 5 — 3 = 2 = 2 = 16262·366662·33 Пример 10. Найти разность двух дробей: 3 — 1 = 3·3 — 1·5 = 9 — 5 = 9 — 5 = 4 = 2·2 = 210610·36·53030303015·215 Определение. Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:

1. отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей;
2. если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть;

Пример 11. Найти разность двух смешанных чисел: 21 — 11 = 21·3 — 11·2 = (2 — 1) + 3 — 2 = 232·33·266 = 1 + 3 -2 = 1 + 1 = 11666 Пример 12.

Найти разность двух смешанных чисел: 31 — 13 = 31·4 — 13·3 = 34 — 19 = 686·48·32424 = 224 + 4 — 19 = 1 + 28 — 9 = 1 + 19 = 1192424242424 Пример 13.

Найти разность двух смешанных чисел: 11 — 32 = 11 — 32·2 = 11 — 34 = (1-3) + 1 — 4 = 6363·2666 = -2 — 3 = -2 — 3 = -2 — 1 = -2162·322

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

А теперь доведем пример до конца: $${5\over{7}}+{9\over{13}}$$ – каждый из знаменателей домножим на другой знаменатель. В общем случае нужно найти НОК, но если НОК ищется для простых чисел, то достаточно перемножить их между собой.

Общий знаменатель в нашем случае: 7*13=91 – в первой дроби необходимо домножить числитель и знаменатель на 13, а во второй на 7. $${5\over{7}}+{9\over{13}}={{5*13}\over{7}}+{{9*7}\over{13}}={{65+63}\over{91}}={128\over{91}}$$ – в нашем случае результатом стала неправильная дробь.

Так как это конечный итог вычислений, то можно как выделить целую часть, так и оставить результат как есть. Если перед вами разность дробей с разными знаменателями, то смысл операций абсолютно не меняется, так как сложение и вычитания есть одна операция, которая называется математическое сложение.

Для примера разберем разность дробей: $${1\over{3}}-{1\over{5}}$$ – оба знаменателя являются простыми числами, а потому общим знаменателем будущего результата будет число: 3*5=15

Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями

Если же знаменатели разные, то порядок действий будет следующим:

1. После приведения знаменателей к одному значению, числители записываются под одним знаком дроби, и выполняется действие.
2. Второй шаг это приведение дробей к одинаковому знаменателю. Знаменатель является наибольшим общим кратным для двух исходных знаменателей.
3. Сделать смешанную дробь неправильной. Для этого нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить это число к числителю. Так мы получим дробь, которая была до выделения целой части из числа.

Чаще прочих складываются десятичные смешанные дроби.

Сложение дробей.

Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\) Вопросы по теме: Как складывать дроби? Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби.

В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения. Как решать дроби с разными знаменателями?

Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Как решать смешанные дроби? Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1: Может ли сумма двух в результате получить правильную дробь?

Вычитание дробей. Вычитание дробей с разными знаменателями.

Умножим вторую дробь \(\frac{3}{7}\) на 3.

Умножим первую дробь \(\frac{2}{3}\) на дополнительный множитель 5, вторую дробь \(\frac{1}{5}\) на 3. \(\frac{2}{3}-\frac{1}{5} = \frac{2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5}}-\frac{1 \times \color{red} {3}}{5 \times \color{red} {3}} = \frac{10}{15}-\frac{3}{15} = \frac{10-3}{15} = \frac{7}{15}\) Выполним проверку вычитания: \(\frac{7}{15} + \frac{1}{5} = \frac{7}{15} + \frac{1 \times \color{red} {3}}{5 \times \color{red} {3}} = \frac{7}{15} + \frac{3}{15} = \frac{7 + 3}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\)

Сложение дробей

Определение: Суммой дробей с одинаковыми знаменателями называют дробь,числитель которой равен сумме числителей исходных дробей,и со знаменателем равным знаменателю обеих дробей.

Формула

Сложим две дроби с одинаковым с одинаковыми знаменателями

По формуле складываем числители, а знаменатель оставляем исходный

Важно: Если есть возможность , то в конечный ответ мы записываем сокращенную дробь. Пример:

При сокращении дроби у нас получится число 1/2 Определение: Для того, чтобы найти сумму дробей с разными знаменателями сначала нужно дроби привести к общему знаменателю, а затем сложить их как дроби с одинаковыми знаменателями. Задача:

Ход решения: 1) Приводим дроби к общему знаменателю.

Для этого ищем , для знаменателей 7 и 6 это число 42.

Делим число 42 на знаменатели дробей 3/7 и 2/6 Так мы нашли дополнительные множители. Дальше домножаем дроби на дополнительные множители и получаем выражение:

2) Складываем дроби. 2) Складываем дроби

3) Если есть возможность, то сокращаем полученную дробь.

Решение:

Вычисляем целую часть, и получаем ответ

Определение: Для того, чтобы сложить нужно отдельно сложить целые части, и отдельно сложить дробные части.

Формула

Пример:

Подставляем цифры в формулу:

Получаем:

Из дроби вычисляем целую часть т.к она неправильная,и получаем выражение 7+2=9. + — * / Select rating12345 Рейтинг: 3.9 (Голосов 65) © 2010-2021 AllCalc.ru

Вычитание смешанных дробей.

Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac{5}{5} = 2\frac{5}{5}\) \(3-1\frac{2}{5}= (2 + \color{red} {1})-1\frac{2}{5} = (2 + \color{red} {\frac{5}{5}})-1\frac{2}{5} = 2\frac{5}{5}-1\frac{2}{5} = 1\frac{3}{5}\) Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями.

Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание. Выполните вычитание двух смешанных дробей с разными знаменателями \(2\frac{2}{3}\) и \(1\frac{1}{4}\).

Общим знаменателем будет число 12.

\(2\frac{2}{3}-1\frac{1}{4} = 2\frac{2 \times \color{red} {4}}{3 \times \color{red} {4}}-1\frac{1 \times \color{red} {3}}{4 \times \color{red} {3}} = 2\frac{8}{12}-1\frac{3}{12} = 1\frac{5}{12}\) Вопросы по теме: Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби? Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения.

Вычитание дробей

Пример.

У дробных частей разные знаменатели. В этом случае вначале нужно дробные части, а затем выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной. Пример.

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример.

Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 < 14>Поэтому, вспомнив , займём единицу из целой части и представим эту единицу в виде неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем равным 18.

Сложение и вычитание целых чисел

При сложении двух целых чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится их общий знак.

Примеры: (+3) + (+7) = 10 (-3) + (-7) = -10 Из данных примеров следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число, а в результате сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число.

При сложении двух целых чисел с разными знаками нужно взять их абсолютные величины и из большей вычесть меньшую, в результате ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше. Другими словами, можно просто, не обращая внимания на знаки, вычесть из большего числа меньшее и у получившегося результата поставить знак большего числа: Примеры: (-4) + (+11) = 7, так как 11 — 4 = 7 (-5) + (+2) = -3, так как 5 — 2 = 3 Из данных примеров следует, что в результате сложения двух чисел с разными знаками может получится как положительное, так и отрицательное число.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю: (-7) + 7 = 0 Вычитание одного целого числа из другого можно заменить сложением, при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с противоположным: (+6) — (+5) = (+6) + (-5) = 1 (+6) — (-5) = (+6) + (+5) = 11 (-6) — (-5) = (-6) + (+5) = -1 (-6) — (+5) = (-6) + (-5) = -11 Из данных примеров следует, что чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

При решении выражений, содержащих и сложение и вычитание, можно сначала заменить вычитание сложением, затем отдельно сложить положительные и отрицательные слагаемые, а потом найти сумму получившихся чисел. Пример: 12 — 18 + 41 — 9 Заменим вычитание на сложение: 12 + (-18) + 41 + (-9) сгруппируем слагаемые по их знакам и сложим отдельно положительные и отрицательные числа: (12 + 41) + ((-18) + (-9)) = 53 + (-27) Теперь осталось только найти сумму двух получившихся результатов: 53 + (-27) = 26, значит 12 — 18 + 41 — 9 = 26

Смешанные числа

Затем сложим дроби с разными знаменателями: Это первый способ.

Второй способ намного проще. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. То есть опустить знак сложения: Пример 3. Найти значение выражения

Можно записать вместе число 2 и дробь

, но этот ответ не будет окончательным, поскольку в дроби можно выделить целую часть.

Поэтому в данном примере сначала нужно выделить целую часть в дроби .

Пять вторых это две целых и одна вторая: Теперь в главном выражении вместо дроби запишем смешанное число Получили новое выражение

. В этом выражении смешанное число запишем в развёрнутом виде: Применим .

Сложим две двойки, получим 4: Теперь свернём полученное смешанное число: Это окончательный ответ.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Приведение дробей к одному знаменателю.

Понятие о НОК

Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например: Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей.

Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.

Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например: Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например: В этом тесте проверяется умение складывать дроби с одинаковыми знаменателями.