Сложение и вычитание дробей
Найти разность двух дробей: 5 — 1=5 — 1·3=5 — 3=5 — 3=2=2=16262·366662·33 Пример 10. Найти разность двух дробей: 3 — 1=3·3 — 1·5=9 — 5=9 — 5=4=2·2=210610·36·53030303015·215 Определение. Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:
- отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей;
- если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть;
Пример 11. Найти разность двух смешанных чисел: 21 — 11=21·3 — 11·2=(2 — 1) + 3 — 2=232·33·266=1 + 3 -2=1 + 1=11666 Пример 12.
Найти разность двух смешанных чисел: 31 — 13=31·4 — 13·3=34 — 19=686·48·32424=224 + 4 — 19=1 + 28 — 9=1 + 19=1192424242424 Пример 13.
Найти разность двух смешанных чисел: 11 — 32=11 — 32·2=11 — 34=(1-3) + 1 — 4=6363·2666=-2 — 3=-2 — 3=-2 — 1=-2162·322
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
А теперь доведем пример до конца: $${5over{7}}+{9over{13}}$$ – каждый из знаменателей домножим на другой знаменатель. В общем случае нужно найти НОК, но если НОК ищется для простых чисел, то достаточно перемножить их между собой.
Общий знаменатель в нашем случае: 7*13=91 – в первой дроби необходимо домножить числитель и знаменатель на 13, а во второй на 7. $${5over{7}}+{9over{13}}={{5*13}over{7}}+{{9*7}over{13}}={{65+63}over{91}}={128over{91}}$$ – в нашем случае результатом стала неправильная дробь.
Так как это конечный итог вычислений, то можно как выделить целую часть, так и оставить результат как есть. Если перед вами разность дробей с разными знаменателями, то смысл операций абсолютно не меняется, так как сложение и вычитания есть одна операция, которая называется математическое сложение.
Для примера разберем разность дробей: $${1over{3}}-{1over{5}}$$ – оба знаменателя являются простыми числами, а потому общим знаменателем будущего результата будет число: 3*5=15
Вычитание смешанных дробей с разными знаменателями
Если же знаменатели разные, то порядок действий будет следующим:
- После приведения знаменателей к одному значению, числители записываются под одним знаком дроби, и выполняется действие.
- Второй шаг это приведение дробей к одинаковому знаменателю. Знаменатель является наибольшим общим кратным для двух исходных знаменателей.
- Сделать смешанную дробь неправильной. Для этого нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить это число к числителю. Так мы получим дробь, которая была до выделения целой части из числа.
Чаще прочих складываются десятичные смешанные дроби.
Десятичные дроби с целой частью так же считаются смешанными. Их складывают по тем же правилам, что и обычные целые числа. Для сложения нужно добавить нужное количество знаков после запятой, чтобы в обоих числах было -одинаковое количество знаков. Для примера выполним вычитание: 17,95-15,959=17,95-15,959=1,991 Мы поговорили о том, что такое дробь.
Сложение дробей.
Умножим первую дробь (7frac{1}{8}) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь (2frac{1}{6}) на 4.
(7frac{1}{8} + 2frac{1}{6}=7frac{1 times color{red} {3}}{8 times color{red} {3}}=2frac{1 times color{red} {4}}{6 times color{red} {4}}=7frac{3}{24} + 2frac{4}{24}=9frac{7}{24}) Вопросы по теме: Как складывать дроби? Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби.
В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения. Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Как решать смешанные дроби? Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.
Рекомендуем прочесть:Замена паспорта в 45 какие еще меняются документы
Пример №1: Может ли сумма двух в результате получить правильную дробь?
Вычитание дробей. Вычитание дробей с разными знаменателями.
Умножим вторую дробь (frac{3}{7}) на 3.
Неправильную дробь? Приведите примеры.
(frac{13}{21}-frac{3}{7}=frac{13}{21}-frac{3 times color{red} {3}}{7 times color{red} {3}}=frac{13}{21}-frac{9}{21}=frac{13-9}{21}=frac{4}{21})
Выполним проверку вычитания:
(frac{4}{21} + frac{3}{7}=frac{4}{21} + frac{3 times color{red} {3}}{7 times color{red} {3}}=frac{4}{21} + frac{9}{21}=frac{4 + 9}{21}=frac{13}{21}) б) Найдем общий знаменатель дробей (frac{2}{3}) и (frac{1}{5}),
он будет равен 15.
Умножим первую дробь (frac{2}{3}) на дополнительный множитель 5, вторую дробь (frac{1}{5}) на 3. (frac{2}{3}-frac{1}{5}=frac{2 times color{red} {5}}{3 times color{red} {5}}-frac{1 times color{red} {3}}{5 times color{red} {3}}=frac{10}{15}-frac{3}{15}=frac{10-3}{15}=frac{7}{15}) Выполним проверку вычитания: (frac{7}{15} + frac{1}{5}=frac{7}{15} + frac{1 times color{red} {3}}{5 times color{red} {3}}=frac{7}{15} + frac{3}{15}=frac{7 + 3}{15}=frac{10}{15}=frac{2}{3})
Сложение дробей
Определение: Суммой дробей с одинаковыми знаменателями называют дробь,числитель которой равен сумме числителей исходных дробей,и со знаменателем равным знаменателю обеих дробей.
Формула
Сложим две дроби с одинаковым с одинаковыми знаменателями
По формуле складываем числители, а знаменатель оставляем исходный
Важно: Если есть возможность , то в конечный ответ мы записываем сокращенную дробь. Пример:
При сокращении дроби у нас получится число 1/2 Определение: Для того, чтобы найти сумму дробей с разными знаменателями сначала нужно дроби привести к общему знаменателю, а затем сложить их как дроби с одинаковыми знаменателями. Задача:
Ход решения: 1) Приводим дроби к общему знаменателю.
Для этого ищем , для знаменателей 7 и 6 это число 42.
Делим число 42 на знаменатели дробей 3/7 и 2/6 Так мы нашли дополнительные множители. Дальше домножаем дроби на дополнительные множители и получаем выражение:
2) Складываем дроби. 2) Складываем дроби
3) Если есть возможность, то сокращаем полученную дробь.
В нашем случае дробь можно сократить на 2 , и в конечный ответ записываем число 16/21 Определение: Для того, чтобы сложить дробь с целым числом, нужно сначала представить целое число как дробь со знаменателем равным 1. Алгоритм расчета: 1) Приводим дроби к общему знаменателю. Пример:
Решение:
Вычисляем целую часть, и получаем ответ
Определение: Для того, чтобы сложить нужно отдельно сложить целые части, и отдельно сложить дробные части.
4) Если же получилась неправильная дробь, то вычисляем из нее целую часть.
Формула
Пример:
Подставляем цифры в формулу:
Получаем:
Из дроби вычисляем целую часть т.к она неправильная,и получаем выражение 7+2=9. + — * / Select rating12345 Рейтинг: 3.9 (Голосов 65) © 2010-2021 AllCalc.ru
Вычитание смешанных дробей.
Займем у целой части у 3 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как (3=2 + 1=2 + frac{5}{5}=2frac{5}{5}) (3-1frac{2}{5}=(2 + color{red} {1})-1frac{2}{5}=(2 + color{red} {frac{5}{5}})-1frac{2}{5}=2frac{5}{5}-1frac{2}{5}=1frac{3}{5}) Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями.
Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание. Выполните вычитание двух смешанных дробей с разными знаменателями (2frac{2}{3}) и (1frac{1}{4}).
Общим знаменателем будет число 12.
(2frac{2}{3}-1frac{1}{4}=2frac{2 times color{red} {4}}{3 times color{red} {4}}-1frac{1 times color{red} {3}}{4 times color{red} {3}}=2frac{8}{12}-1frac{3}{12}=1frac{5}{12}) Вопросы по теме: Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби? Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения.
Вычитание дробей
Пример.
У дробных частей разные знаменатели. В этом случае вначале нужно дробные части, а затем выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной. Пример.
Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.
Пример.
Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.
Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 < 14>Поэтому, вспомнив , займём единицу из целой части и представим эту единицу в виде неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем равным 18.
Рекомендуем прочесть:Как рассчитать сумму среднего дневного заработка
Сложение и вычитание целых чисел
При сложении двух целых чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится их общий знак.
Примеры: (+3) + (+7)=10 (-3) + (-7)=-10 Из данных примеров следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число, а в результате сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число.
При сложении двух целых чисел с разными знаками нужно взять их абсолютные величины и из большей вычесть меньшую, в результате ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше. Другими словами, можно просто, не обращая внимания на знаки, вычесть из большего числа меньшее и у получившегося результата поставить знак большего числа: Примеры: (-4) + (+11)=7, так как 11 — 4=7 (-5) + (+2)=-3, так как 5 — 2=3 Из данных примеров следует, что в результате сложения двух чисел с разными знаками может получится как положительное, так и отрицательное число.
Сумма двух противоположных чисел равна нулю: (-7) + 7=0 Вычитание одного целого числа из другого можно заменить сложением, при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с противоположным: (+6) — (+5)=(+6) + (-5)=1 (+6) — (-5)=(+6) + (+5)=11 (-6) — (-5)=(-6) + (+5)=-1 (-6) — (+5)=(-6) + (-5)=-11 Из данных примеров следует, что чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
При решении выражений, содержащих и сложение и вычитание, можно сначала заменить вычитание сложением, затем отдельно сложить положительные и отрицательные слагаемые, а потом найти сумму получившихся чисел. Пример: 12 — 18 + 41 — 9 Заменим вычитание на сложение: 12 + (-18) + 41 + (-9) сгруппируем слагаемые по их знакам и сложим отдельно положительные и отрицательные числа: (12 + 41) + ((-18) + (-9))=53 + (-27) Теперь осталось только найти сумму двух получившихся результатов: 53 + (-27)=26, значит 12 — 18 + 41 — 9=26
Смешанные числа
Затем сложим дроби с разными знаменателями: Это первый способ.
Второй способ намного проще. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. То есть опустить знак сложения: Пример 3. Найти значение выражения
Можно записать вместе число 2 и дробь
, но этот ответ не будет окончательным, поскольку в дроби можно выделить целую часть.
Поэтому в данном примере сначала нужно выделить целую часть в дроби .
Пять вторых это две целых и одна вторая: Теперь в главном выражении вместо дроби запишем смешанное число Получили новое выражение
. В этом выражении смешанное число запишем в развёрнутом виде: Применим .
Сложим две двойки, получим 4: Теперь свернём полученное смешанное число: Это окончательный ответ.
Сложение и вычитание обыкновенных дробей.
Приведение дробей к одному знаменателю.
Понятие о НОК
Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например: Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей.
Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.
Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например: Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например: В этом тесте проверяется умение складывать дроби с одинаковыми знаменателями.
